「無限ホテル」のパラドックス

The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

TED
上級レベル

紹介

「無限」とはどんなものでしょうか? 日常で有限の数しか扱っていない我々には、「無限」という概念を想像して理解するのは、難しいことです。 それをどのようにして考えていったら良いか、1920年代にドイツの数学者、David Hilbertが考案した「無限ホテル」の思考実験で一緒に体験してみましょう。 普段はあまり考えない、果てしない数の世界を旅するのと同時に、数学に関する英語を学ぶことができます。

内容&感想

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無限の階数を持つホテルと、そこに勤めるとてもとても有能で勤勉なマネージャー。 後から後から押し寄せるお客さんを、上手にホテルに詰め込んでいきます。 ある晩のホテルは満室。そこへ一人のお客が。マネージャーは、各部屋にいたお客さんそれぞれに、一つ上の部屋に移ってもらうよう頼むことで、1号室を空室にします。 そこに新しいお客さんを案内すればOK! 簡単です。 いいんですけど、いちいち移動させられるホテルには泊まりたくないですね。。
1:17
お次にやってきたのは、無限の長さのバス、そこから降りてくる無限の人数の宿泊客。 さあ、マネージャーどうする! 今度は、既に部屋にいるお客さん、それぞれを2倍の数の番号の部屋に移ってもらいます。 前からいたお客さんは、全員偶数番号の部屋にいることになり、新しくきたお客さんは、奇数番号の部屋に入ってお休みいただけば良いのです。 このホテルの売り上げは、毎日無限大!素晴らしいですね〜!ウハウハです。もう十分じゃないですか?
2:14
評判が評判を呼び、「無限ホテル」には世界中からお客さんが押し寄せてきます。 ある日、無限の長さのバスが、次から次へとやってくる光景を目にします。これは大変。 マネージャーの作戦は、「素数」の性質を使うこと。バスごとに、異なる素数の累乗の数の部屋番号にお客さんをご案内。 そうしていけば、部屋番号が重複することなく、無限のお客さんを泊めることができるのです。 でも、複数の素数で割り切れる数の部屋は埋まらないことになってしまいます。でも大丈夫、オーナーは太っ腹だから、空室があっても気にしません。 実に有能なマネージャーです。
4:19
ところが、マネージャーが対応できていたのは、この「無限ホテル」が自然数だけからなるレベルの低い「無限」(=アレフ・ゼロ)だったからです。 数の概念を実数にまで拡張すると、負の数、分数、平方根といった数の番号の部屋が出てきます。 有能勤勉なマネージャーでさえも扱いきれない実数の「無限」・・いかに無限という概念を理解することが困難なことか、実感できますね。
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